Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD．∠BAD=90°，且PA=AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：PC⊥CD；
（Ⅱ）设F为PA上一点，且

AF

=

1

4

AP

，证明：EF∥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，根据PA⊥平面ABCD，推断出PA⊥CD，取AD中点G，连结CG，在直角梯形ABCD中∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，BC∥AD，进而求得AG=GD=GC=1，CG⊥AD，推断出CD⊥AC，进而可知CD⊥平面PAC，最后利用线面垂直的性质推断出PC⊥CD．
（Ⅱ）取AG的中点H，连结BG，EH，FH，E为AB的中点，推断出EH∥BG，BC=DG=1，BC∥DG，判断出四边形BCDG为平行四边形，得出GC∥CD，根据已知

AF

=

1

4

AP

，AH=

1

4

AD，推断出FH∥PD，利用面面平行的判定定理判断出平面EFH∥平面PCD，进而可知EF∥平面PCD．

解答： 解：（Ⅰ）连结AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
取AD中点G，连结CG，
在直角梯形ABCD中∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，BC∥AD，
∴AG=GD=GC=1，CG⊥AD，
∴CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，
∴PC⊥CD．


（Ⅱ）取AG的中点H，连结BG，EH，FH，
∵E为AB的中点，
∴EH∥BG，
又BC=DG=1，BC∥DG，
∴四边形BCDG为平行四边形，
∴GC∥CD，
∵

AF

=

1

4

AP

，AH=

1

4

AD，
∴FH∥PD，
∴平面EFH∥平面PCD，
∴EF∥平面PCD．

点评：本题主要考查了直线与平面平行，垂直的性质及判定定理的应用．作为基础，要求学生能熟练掌握．