Question

（本小题满分14分）已知是定义在[-1，1]上的奇函数，当，且时有.

（1）判断函数的单调性，并给予证明；

（2）若对所有恒成立，求实数m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）令－1≤x₁<x₂≤1，且a= x₁，b=－x₂

则 ∵x₁－ x₂<0，f(x)是奇函数 

∴f(x₁)－f(x₂)<0即f(x₁)<f(x₂)

∵x₁<x₂  ∴f(x)是[-1，1]上的增函数。

（2）。

【解析】

试题分析：(1)

……………6

(2)解：∵f(x)是增函数，且f (x)≤m²－2bm+1对所有x∈[－1,1]恒成立

∴[f(x)]_max≤m²－2bm+1   [f(x)]_max=f(1)=1

∴m²－2bm+1≥1即m²－2bm≥0在b∈[－1,1]恒成立

∴y= －2mb+m²在b∈[－1,1]恒大于等于0               ……………9

∴，∴

∴m的取值范围是           …14

考点：函数的奇偶性；函数的单调性；有关恒成立问题。

点评：对于恒成立问题常用分离参数法进行解决：若恒成立，只需；若恒成立，只需。