Question

已知△ABC，

AB

=(cos

3x

2

，-sin

3x

2

)，

AC

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，其中x∈(0，

π

2

)．
（Ⅰ）求|

BC

|和△ABC的边BC上的高h；
（Ⅱ）若函数f(x)=|

BC

|2+λ•h的最大值是5，求常数λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量模的定义求出|

BC

|，|

AC

|，|

AB

|，结合图象求出BC边上的高；
（2）借助换元法把函数f（x）转换为二次函数g（t），结合二次函数的图象确定当t=

λ

8

即λ=4时，函数f（x）的最大值为5．

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

=(cos

3x

2

，-sin

3x

2

)，

AC

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，∴|

AB

|=|

AC

|=1
∴|

BC

|=

( AC - AB )2

=

AC 2-2 AC • AB + AB 2

=

2-2(cos 3x 2 cos x 2 +(-sin 3x 2 )sin x 2 )

=

2-2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )

=

2-2cos2x

=

2-2(1-2sin2x)

=

4sin2x

=2|sinx|
∵x∈(0，

π

2

)，∴sinx∈（0，1），∴|

BC

|=2sinx．
∵|

AB

|=|

AC

|=1，△ABC是等腰三角形，
∴h=

|AB|2-( 1 2 | BC |)2

=cosx
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=|

BC

|2+λh=4sin2x+λcosx=4（1-cos²x）+λcosx=-4cos²x+λcosx+4
令t=cosx，∵x∈(0，

π

2

)，∴t∈（0，1）
则 f(x)=g(t)=-4t2+λt+4=-4(t-

λ

8

)2+

λ2

16

+4
结合函数g（t）的图象可知
当

λ

8

≤0或

λ

8

≥1，即λ≤0或λ≥8时，函数g（t）无最值．
当0＜

λ

8

＜1，即0＜λ＜8时，f（x）_max=g(t)max=g(

λ

8

)=-4×(

λ

8

)2+λ×

λ

8

+4=5
解得λ=4或λ=-4（舍）
故λ=4时，函数f（x）的最大值为5．

点评：本题考查了向量模的概念及求法、两角和的余弦、同角的三角函数关系，培养了学生等价转换及分类讨论、数形结合的数学解题能力．