题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）求f（x）的周期、对称中心、对称轴和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求f（x）的值域．

解：（I）f（x）=2（ $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ）=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∴T= $\text{[math]}$ =4π
令 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =kπ，得x=2kπ- $\text{[math]}$
∴f（x）图象的对称中心为（2kπ- $\text{[math]}$ ，0）
令 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，得x=2kπ+ $\text{[math]}$
∴f（x）的对称轴为x=2kπ+ $\text{[math]}$
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$
得4kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤4kπ+ $\text{[math]}$
∴f（x）的递增区间为[4kπ- $\text{[math]}$ ，4kπ+ $\text{[math]}$ ]
（II）由x∈[0，π]，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴函数f（x）值域为[1，2]
分析：（I）先将函数转化成f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），然后根据T= $\text{[math]}$ =4π，对称中心 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =kπ，对称轴 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，单调递增区间2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，再将x求出即可．
（II）先求出 $\text{[math]}$ ，然后根据正弦函数的特点求出值域．
点评：本题考查了正弦函数的定义域、值域、对称性、单调性、周期性等知识，熟练掌握知识可以提高做题效率，属于中档题．