Question

如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA中点。

（1）求证：直线BD⊥平面OAC；

（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；

（3）求点A到平面OBD的距离。

Answer 1

解：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A－xyz。

（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)

∴＝0，＝－1＋1＝0

∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A

故BD⊥平面OAC                                     

（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)

则：

∴＝60°

故：MD与平面OAC所成角为30°                

（3）设平面OBD的法向量为＝(x，y，z)，则

取＝(2，2，1)

则点A到平面OBD的距离为d＝    

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是边长为1的正方形

∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面OAC                            

（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角

∵MD＝，DE＝

∴直线MD与平面OAC折成的角为30°                 

（3）作AH⊥OE于点H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。

∴AH＝

∴点A到平面OBD的距离为