Question

（13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，与交于点F．（I）求证：⊥；

（II）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．

 

Answer 1

【答案】

解一：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，则是A₁C在面ABCD的射影．

⊥BD．

∴A₁C⊥BD．    …．6分

（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，

因为

,同理．

是二面角的平面角．

 又E、F分别是AC、B₁C的中点     

,

≌,

在中由余弦定理有：,

所以二面角的平面角为．

解法二：（Ⅱ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C（0,0,0）．

D（1,0,0）,B（0,1,0）,A₁（1,1,1）,C₁（0,0,1）,D₁（1,0,1）

易证，BD₁⊥面AB₁              C．则＜,＞为所求二面角的平面角补角的大小．

,,,

所以二面角的平面角为．                     … 13分

 

【解析】略