题目内容
18．
如图，在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2$\sqrt{2}$，则cosA等于（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ |
分析 用sinA表示AD，BD，由AD=BD得出∠BDC=2A，在△BCD中使用正弦定理列方程解出cosA．
解答 解：在△ABC中，∵DE⊥AB，DE=2$\sqrt{2}$，∴AD=$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}$．
∴BD=AD=$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}$．
∵AD=BD，∴A=∠ABD，
∴∠BDC=A+∠ABD=2A，
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{sinA}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{sin2A}$，整理得cosA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：C．
点评 本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．
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