Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为 ，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点 M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为 时，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：a=2， ，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b= ．

∴椭圆C的标准方程为： =1，其焦点坐标为：

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立 ，

化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，

△＞0，∴x1+x2= ，x1x2= ．

∴|MN|=

= = ．

点A到直线MN的距离d= ．

∴△AMN的面积= = |MN|= ，

化为：20k4﹣7k2﹣13=0，

解得k2=1，解得k=±1

【解析】（1）由题意可得：a=2， ，a2=b2+c2 ， 联立解得即可得出．（2）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系可得|MN|= ，点A到直线MN的距离d．利用△AMN的面积= = |MN|，解出即可得出．