Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞）， ，令f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

（2）解：∵g（x）=1+lnx+mx， ，x∈（0，e]，

①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合题意．

②若m＜0，则由g'（x）＞0，即 ，若 ，g（x）在（0，e]上是增函数，

由①知不合题意．

由g'（x）＜0，即 ．

从而g（x）在 上是增函数，在 为减函数，

∴ ，令ln（ ）=﹣3，所以m=﹣e3，

∵ ，∴所求的m=﹣e3

（3）解：∵x≥1时， 恒成立，∴k≤（x+1）f（x）=lnx+ + +1，

令 ，

∴ 恒大于0，

∴h（x）在[1，+∞）为增函数，

∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2

【解析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出 ，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．（3）利用x≥1时， 恒成立，分离变量，构造函数 ，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．