Question

已知F₁、F₂分别是椭圆=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，．设A、B是上半椭圆上满足=的两点，其中λ∈[]．
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求椭圆方程，利用已知可得关于a，b，c的关系式，进而解出a，b得到标准方程；求直线AB的斜率的取值范围，可设其斜率为k，则利用前面的结果，得到直线AB的点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用设而不求的思想，建立起λ与k的关系λ=f（k），进而利用λ∈[]的范围解出k的取值范围．
（2）本问题可通过利用函数（椭圆的上半部分图象是一个函数关系）的导数求出斜率，进而得到切线方程，求出点P的坐标，可观察点P在某条定直线上即可．要求点P的纵坐标的取值范围，可在上面得到坐标的基础上，利用（1）的结论，建立纵坐标与直线AB的斜率的关系来求其范围．
解答：解：（1）由于=2，||=2，∴．
解得，从而所求椭圆的方程为．（3分）
∵，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由，消去x得，即，
根据条件可知，解得0＜|k|＜（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x2₊2，y₂），∴
从而，消去y₂得，
令，则，
由于，所以φ′（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间上的减函数，从而φ，
即，
∴，
∴解得，而0＜k＜，
∴，
因此直线AB的斜率的取值范围是（7分）

（2）上半椭圆的方程为，
且，
求导可得，
所以两条切线的斜率分别为，
（8分）

[解法一]：切线PA的方程是，即．
又x₁²+2y₁²=2，从而切线PA的方程为，
同理可得切线PB的方程为，
由，可解得点P的坐标（x，y）满足
再由，得?x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁）
∴（11分）
又由（1）知，∴．
因此点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，]（12分）

[解法二]：设点P的坐标为（x，y），
则可得切线PA的方程是，
而点A（x₁，y₁）在此切线上，
所以有（x₁-x），即xx₁+2yy₁=x₁²+2y₁²（9分）
所以有xx₁+2yy₁=2，①
同理可得xx₂+2yy₂=2②
根据①和②可知直线AB的方程为xx+2yy=2
而直线AB过定点N（-2，0），
∴-2x=2⇒x=-1，直线AB的方程为-2x+2yy=2，
∴k_AB=（11分）
又由（1）知，
所以有
因此点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，]．（12分）
点评：本小题考查椭圆的概念，椭圆方程的求法，椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及与向量知识的综合应用．本题综合运用了向量法，解不等式的方法，设而不求等思想方法；本题考查椭圆的知识综合性较强，应用概念也较为灵活，对学生的综合能力素质要求较高．