题目内容
（2012•福建模拟）设函数f（x）及其导函数f'（x）都是定义在R上的函数，则“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的（ ）
分析：由前边的命题成立能推出后边的命题成立，由后边的命题成立也能推出前边的命题成立，由此可得结论．
解答：解：由于f′（x）=
=
，故|f′（x）|=
．
由“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”成立，
故必要性成立．
综上可得，“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要条件，
故选C．
| lim |
| △x→0 |
| △y |
| △x |
| lim |
| (x2- x 1)→0 |
| f(x2)-f(x 1) |
| x2-x 1 |
| lim |
| (x2- x 1)→0 |
| |f(x2)-f(x 1)| |
| | x2-x 1| |
由“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”成立，
故必要性成立．
综上可得，“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要条件，
故选C．
点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数的定义，属于基础题．
练习册系列答案
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