题目内容
10．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）=$\frac{x}{x+1}$，判断f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）=1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
分析 （1）化简f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{1+x}$，从而可得-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$；从而确定|f（x）|≤1；从而解得；
（2）由题意知|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；从而可得-$\frac{4}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$；从而换元令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则t∈[$\frac{1}{4}$，1]；从而可得-4t2-t≤a≤2t2-t在[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立；从而化为最值问题．
解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{1+x}$，则f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函数；
故f（-$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）；故-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$；
故|f（x）|≤1；
故f（x）是有界函数；
故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；
（2）∵函数g（x）=1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，
∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；
即-3≤g（x）≤3，
∴-3≤1+2x+a•4x≤3，
∴-$\frac{4}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$；
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则t∈[$\frac{1}{4}$，1]；
故-4t2-t≤a≤2t2-t在[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立；
故（-4t2-t）max≤a≤（2t2-t）min，t∈[$\frac{1}{4}$，1]；
即-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{8}$；
故实数a的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$]．
点评 本题考查了函数的化简运算的应用及转化思想的应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用．
| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | -$\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | -$\frac{1}{4}$ |
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 5 |