题目内容

已知椭圆的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），过P（0， $数学公式$ ）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为 $数学公式$ ，过F₁作直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求△PAB的面积；
（3）是否存在实数t使 $数学公式$ ，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），
由题意点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，a²=b²+1
∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=1，a²=b²+1=2
∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$
（2）由题意，A是椭圆与y轴负半轴的交点，∴A（0，-1）
∵F₁（1，0），∴过F₁，A作直线l的方程为y=x-1，
代入椭圆方程可得3x²-4x=0
∴x=0或 $\text{[math]}$
∴A（0，-1），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵P（0， $\text{[math]}$ ）
∴△PAB的面积为 $\text{[math]}$ =1
（3）当直线斜率不存在时，可得A（1， $\text{[math]}$ ），B（1，- $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得t=2，直线l的方程为x=1．
当直线斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程为y=k（x-1）
代入椭圆方程可得（ $\text{[math]}$ +k²）x²-2k²x+k²-1=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得x₁+x₂=t， $\text{[math]}$
因为y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），所以 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ =t，∴k=- $\text{[math]}$ ，t= $\text{[math]}$
此时，直线l的方程为y=- $\text{[math]}$ （x-1）
分析：（1）设椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），根据过P（0， $\text{[math]}$ ）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为 $\text{[math]}$ ，可得点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，，从而可得椭圆的标准方程；
（2）确定过F₁，A作直线l的方程代入椭圆方程，求出A，B的坐标，从而可求△PAB的面积；
（3）当直线斜率不存在时，可得A，B的坐标，从而可得向量PA，PB，PF₁的坐标，利用 $\text{[math]}$ ，即可求得直线l的方程；当直线斜率存在时，确定向量PA，PB，PF₁的坐标，利用 $\text{[math]}$ ，即可求得直线l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，综合性强．