Question

（2012•宝山区一模）已知椭圆的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），过P（0，

1

2

）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为

6

，过F₁作直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求△PAB的面积；
（3）是否存在实数t使

PA

+

PB

=t

PF1

，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据过P（0，

1

2

）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为

6

，可得点（

6

2

，

1

2

）在椭圆上，，从而可得椭圆的标准方程；
（2）确定过F₁，A作直线l的方程代入椭圆方程，求出A，B的坐标，从而可求△PAB的面积；
（3）当直线斜率不存在时，可得A，B的坐标，从而可得向量PA，PB，PF₁的坐标，利用

PA

+

PB

=t

PF1

，即可求得直线l的方程；当直线斜率存在时，确定向量PA，PB，PF₁的坐标，利用

PA

+

PB

=t

PF1

，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意点（

6

2

，

1

2

）在椭圆上，a²=b²+1…（2分）
∴

6

4(1+b2)

+

1

b2

=1，∴b²=1，a²=b²+1=2
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由题意，A是椭圆与y轴负半轴的交点，∴A（0，-1）
∵F₁（1，0），∴过F₁，A作直线l的方程为y=x-1，…（5分）
代入椭圆方程可得3x²-4x=0
∴x=0或

4

3

∴A（0，-1），B（

4

3

，

1

3

），…（7分）
∵P（0，

1

2

）
∴△PAB的面积为

1

2

|AP|xB=1…（9分）
（3）当直线斜率不存在时，可得A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），
所以

PA

=(1，

2 -1

2

)，

PB

=(1，-

2 +1

2

)，

PF1

=(1，-

1

2

)
由

PA

+

PB

=t

PF1

得t=2，直线l的方程为x=1．…（11分）
当直线斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程为y=k（x-1）
代入椭圆方程可得（

1

2

+k²）x²-2k²x+k²-1=0
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

所以

PA

=(x1，y1-

1

2

)，

PB

=(x2，y2-

1

2

)，

PF1

=(1，-

1

2

)
由

PA

+

PB

=t

PF1

得x₁+x₂=t，y1+y2=1-

t

2

…（13分）
因为y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），所以1-

t

2

=k(t-2)
又

4k2

1+2k2

=t，∴k=-

1

2

，t=

2

3

此时，直线l的方程为y=-

1

2

（x-1）…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，综合性强．