题目内容

已知数列{b_n}满足条件：首项b₁=1，前n项之和B_n= $数学公式$ ．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{an}的满足条件：an=（1+ $数学公式$ ） a_n-1，且a₁=2，试比较a_n与 $数学公式$ 的大小，并证明你的结论．

解：（1）当n＞1时，b_n=B_n-B_n-1
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+ $\text{[math]}$ ）a_n-1，得 $\text{[math]}$
∴an= $\text{[math]}$
由a₁=2，bn=3n-2知，
an=（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）2
=（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（5分）
设c_n= $\text{[math]}$ ，
当n=1时，有（1+1）= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
当n=2时，有an=（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c_n
假设n=k（k≥1）时an＞c_n成立，
即（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＞ $\text{[math]}$ 成立，
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）
＞ $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （3分）
右边=c_k+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由（ak+1）³-（c_k+1）³=（3k+1） $\text{[math]}$ -（3k+4）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞0，得ak+1＞c_k+1成立．
综合上述，an＞c_n对任何正整数n都成立．（3分）
分析：（1）由b_n=B_n-B_n-1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3n-2，能得到数列{b_n}的通项公式．
（2）由an=（1+ $\text{[math]}$ ）a_n-1，得 $\text{[math]}$ ，an= $\text{[math]}$ ，由a₁=2，bn=3n-2知，an=（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）2=（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），由此入手，利用数学归纳法能够证明an＞ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推公式的合理运用，合理地运用数学归纳法进行证明．