Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证： ；

（2）当且时，求函数的最小值；

（3）若，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）的最小值为.（3）见解析

【解析】【试题分析】（1）借助导数运用求函数的最小值满足不等式即可；（2）借助问题（1）的结论进行求解；（3）先不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析求解：

（1）证明： ，

当时， ，当时， ，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

（2）解：当时， ，

由第（1）问的结论可知，此时函数在上单调递增，

，即为且时，函数的最小值为.

（3）证明:由第（2）问的结论可知，当时， ，要证： ，

只需证，即证，

设，

令，则，

函数在上单调递增， ，即，函数在上单调递增，

，综上所述，当时， 且，

所以成了.