Question

1．设函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若$f（1）=\frac{8}{3}$，且函数g（x）=a^2x-a^-2x-2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；
（2）求得a=3，即有g（x）=3^2x-3^-2x-2m（3^x-3^-x），令t=3^x-3^-x，则t是关于x的增函数，可得$t≥3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．

解答 （1）解法一：函数f（x）=k•a^x-a^-x的定义域为R，
f（x）是奇函数，所以f（0）=k-1=0，即有k=1．  
当k=1时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；
解法二：函数f（x）=k•a^x-a^-x的定义域为R，
由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即k•a^-x-a^x=a^-x-k•a^x，（k-1）（a^x+a^-x）=0，
因为a^x+a^-x＞0，所以，k=1．  
（2）由$f（1）=\frac{8}{3}$，得$a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3}$，解得a=3或$a=-\frac{1}{3}$（舍）．   
所以g（x）=3^2x-3^-2x-2m（3^x-3^-x），
令t=3^x-3^-x，则t是关于x的增函数，$t≥3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，
g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
当$m＜\frac{8}{3}$时，则当$t=\frac{8}{3}$时，$g{（x）_{min}}={（{\frac{8}{3}}）^2}-2m×\frac{8}{3}+2=-2$，
解得$m=\frac{25}{12}$；     
当$m≥\frac{8}{3}$时，则当t=m时，$g{（x）_{min}}=2-{m^2}=-2$，m=±2（舍去）．
综上，$m=\frac{25}{12}$．

点评 本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．