Question

已知数列{a_n}满足a_n=2n+1，设函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

且c_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，则数列{c_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：T₁=c₁=a₃=7；c2=f(22+4)=a₁=2×1+1=3，n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）+1=2^n-1+3，n≥2时，T_n=7+3+（2²+3）+（2³+3）+…+（2^n-1+3），由此能求出T_n=

7，n=1 2n+3n，n≥2

．

解答： 解：由题意知：
n=1时，T₁=c₁=f（2+4）=f（3）=a₃=2×3+1=7；
c2=f(22+4)=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=2×1+1=3，
n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=2（2^n-2+1）+1=2^n-1+3，
∴n≥2时，T_n=7+3+（2²+3）+（2³+3）+…+（2^n-1+3）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+3n+1
=

1-2n

1-2

+3n-1
=2ⁿ+3n．
∴T_n=

7，n=1 2n+3n，n≥2

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故答案为：

7，n=1 2n+3n，n≥2

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．