Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²＋y²－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求圆Q的面积；
(2)求k的取值范围；
(3)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)4π. (2) (3)没有符合题意的常数k

(1)圆的方程可化为(x－6)²＋y²＝4，可得圆心为Q(6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2.直线l与圆(x－6)²＋y²＝4交于两个不同的点A，B等价于＜2，化简得(－8k²－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范围为.
(3)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，由
得(k²＋1)x²＋4(k－3)x＋36＝0，
解此方程得x_1,2＝.
则x₁＋x₂＝－，①
又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋4.②
而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)．
所以＋与共线等价于－2(x₁＋x₂)＝6(y₁＋y₂)，将①②代入上式，解得k＝－.由(2)知k∈，故没有符合题意的常数k