Question

已知函数f(x)＝log_a (a>0且a≠1)是奇函数．

(1)求m的值；

(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；

(3)当a>1，x∈(1，)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．

Answer 1

 (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，

令1－m·(－1)＝0得m＝－1.

(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)

(2)由(1)得f(x)＝ (a>0且a≠1)，

任取x₁、x₂∈(1，＋∞)，且x₁<x₂，

∵x₁>1，x₂>1，x₁<x₂，

∴x₁－1>0，x₂－1>0，x₂－x₁>0.

∴t(x₁)>t(x₂)，即

∴当a>1时，

即f(x₁)>f(x₂)；

当0<a<1时，

即f(x₁)<f(x₂)，

∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

(3)∵a>1，∴f(x)在(1，)上是减函数，

∴当x∈(1，)时，f(x)>f()＝log_a(2＋)，

由条件知，log_a(2＋)＝1，∴a＝2＋.