题目内容
已知函数f（x）=
．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{an}满足an=f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
| 4x |
| 4x+2 |
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{an}满足an=f（0）+f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
（Ⅲ）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和,函数的值
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知条件得f（x）+f（1-x）=
+
=
+
=
+
=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出an=f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（1）=
．
（Ⅲ）由bn=2n+1•an=（n+1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
| 4x |
| 4x+2 |
| 41-x |
| 41-x+2 |
| 4x |
| 4x+2 |
| 4 |
| 4+2•4x |
| 4x |
| 4x+2 |
| 2 |
| 4x+2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出an=f（0）+f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
| n+1 |
| 2 |
（Ⅲ）由bn=2n+1•an=（n+1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=
，
∴f（x）+f（1-x）=
+
=
+
=
+
=
+
=1．
（Ⅱ）∵f（x）+f（1-x）=1，f（
）=
=
，
∴an=f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（1）
=[f（0）+f（1）]+[f（
）+f（
）]+…
=
，
∴an=
．
（Ⅲ）∵bn=2n+1•an=（n+1）•2n，
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
-（n+1）•2n+1
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
| 4x |
| 4x+2 |
∴f（x）+f（1-x）=
| 4x |
| 4x+2 |
| 41-x |
| 41-x+2 |
=
| 4x |
| 4x+2 |
| ||
|
=
| 4x |
| 4x+2 |
| 4 |
| 4+2•4x |
=
| 4x |
| 4x+2 |
| 2 |
| 4x+2 |
（Ⅱ）∵f（x）+f（1-x）=1，f（
| 1 |
| 2 |
4
| ||
4
|
| 1 |
| 2 |
∴an=f（0）+f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
=[f（0）+f（1）]+[f（
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
=
| n+1 |
| 2 |
∴an=
| n+1 |
| 2 |
（Ⅲ）∵bn=2n+1•an=（n+1）•2n，
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
| 4(1-2n-1) |
| 1-2 |
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
点评：本题考查函数值的求法，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
等差数列{an}的通项公式an=2n-1，设数列{
}，其前n项和为Sn，则Sn等于（ ）
| 1 |
| an•an+1 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、以上都不对 |
已知
=（-3，2），
=（-1，λ），向量
与
垂直，则实数λ的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、-
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、
|
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是正方形ABCD，PA=AB=2．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=