Question

已知函数（为自然对数的底数）．

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）讨论函数的极值情况；

（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

（1）a＝e； （2）当 时，无极值；当时，；（3）k≤1．

【解析】

试题分析：（1）由 ，得，

又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

∴ ，即，解得a＝e．

（2） ．

①当a≤0时，，f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；

②当a＞0时，令，得，，

x∈（-∞，lna），＜0；x∈（lna，+∞），＞0；

∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

故f（x）在x＝lna处取到极小值，且极小值为 ，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x＝lna处取到极小值lna，无极大值．

（3）当a＝1时， ，令，

则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）没有公共点，

等价于方程g（x）＝0在R上没有实数解．

假设k＞1，此时g（0）＝1＞0，，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）＝0在R上至少有一解，与“方程g（x）＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．

又k＝1时，，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

所以k的取值范围是k≤1．

考点：考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值和零点的存在性定理．