Question

15．平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共线，且两两所成的角相等，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=1．

Answer 1

分析 平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共线，且两两所成的角相等，可得所成的角为$\frac{2π}{3}$．可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）}$，即可得出．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共线，且两两所成的角相等，∴所成的角为$\frac{2π}{3}$．
∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$2×1×cos\frac{2π}{3}$=-1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2×2×cos\frac{2π}{3}$=-2．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}+2×（-1-1-2）}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．