Question

已知抛物线C₁：y²=2px的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）求双曲线C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）把交点M(

2

3

，

2 6

3

)代入抛物线C₁：y²=2px，就能得到抛物线C₁的方程．
（2）求出抛物线C₁的准线方程，得到双曲线C₂的左焦点，然后设出双曲线的标准方程，把交点M代入，可以求出双曲线C₂的方程．

解答：解：（1）把交点M(

2

3

，

2 6

3

)代入抛物线C₁：y²=2px得

24

9

=2p×

2

3

，解得p=2，∴抛物线C₁的方程是y²=4x．
（2）∵抛物线y²=4x的准线方程是x=-1，
∴双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点是（-1，0）．
设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

1-a2

=1，
把交点M(

2

3

，

2 6

3

)代入，得

4

9a2

-

24

9(1-a2)

=1，整理得9a⁴-37a²+4=0．
解得a2=

1

9

，或a²=4（舍去）．
∴b2=1-

1

9

=

8

9

．
∴双曲线C₂的方程是

x2

1 9

-

y2

8 9

=1．

点评：第（1）题比较简单，把交点M代入y²=2px就能求出抛物线C₁的方程，第（2）题在第一题的基础上得到双曲线C₂的左焦点，知道焦点坐标后，双曲线方程通常设为

x2

a2

-

y2

c2-a2

=1．