Question

 

如图，三棱柱中，侧面底面，,

且,O为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．

   

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，

所以．             …1分

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，

 所以平面．               …4分

（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，又;

．

所以得:

则有：     

设平面的一个法向量为，则有

 ，令，得

 所以．            …6分

 ．          

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．  …8分

（Ⅲ）设         

即，得

所以得         …10分

 令平面，得 ，           

即得

即存在这样的点E，E为的中点．            …12分