Question

如图，三棱柱中，侧面底面，,且,O为中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明略（Ⅱ）.

【解析】Ⅰ）先证明，根据平面平面，证得平面；（Ⅱ）向量法求解。

解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，所以.   ………1分

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面.       ………4分

（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知，又

所以得:

则有：     ………6分 

设平面的一个法向量为，则有

，令，得

所以.                                   ………………7分

.                          ………………9分

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.