Question

5．（1）已知log₁₂27=a，试用a表示log₆16；
（2）已知log₂3=a，3^b=7．试用a，b表示log₁₂56．

Answer 1

分析 （1）由换底公式得到a=$\frac{lg27}{lg12}$=$\frac{3}{2×\frac{lg2}{lg3}+1}$，从而$\frac{lg2}{lg3}=\frac{3-a}{2a}$，由此能用a表示log₆16．
（2）由已知得$\frac{lg3}{lg2}=a$，$\frac{lg7}{lg3}$=b，由此利用换底公式能用a，b表示log₁₂56．

解答 解：（1）∵log₁₂27=a，
∴a=$\frac{lg27}{lg12}$=$\frac{3lg3}{2lg2+lg3}$=$\frac{3}{2×\frac{lg2}{lg3}+1}$，
∴$\frac{lg2}{lg3}=\frac{3-a}{2a}$，
∴log₆16=$\frac{lg16}{lg6}$=$\frac{4lg2}{lg2+lg3}$=$\frac{4}{1+\frac{lg3}{lg2}}$=$\frac{4}{1+\frac{2a}{3-a}}$=$\frac{12-4a}{a+3}$．
（2）∵log₂3=a，3^b=7，
∴log₃7=b，$\frac{lg3}{lg2}=a$，$\frac{lg7}{lg3}$=b，
∴log₁₂56=$\frac{lg56}{lg12}$=$\frac{lg7+3lg2}{lg3+2lg2}$=$\frac{\frac{lg7}{lg3}+3×\frac{lg2}{lg3}}{1+2×\frac{lg2}{lg3}}$=$\frac{b+\frac{3}{a}}{1+\frac{2}{a}}$=$\frac{ab+3}{a+2}$．

点评 本题考查对数的化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则和换底公式的合理运用．