Question

17．已知：$A_n^4=40C_n^5$，设$f（x）={（x-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$．
（1）求n的值；
（2）写出f（x）的展开式中所有的有理项；
（3）求f（x）的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）根据 $A_n^4=40C_n^5$，利用排列、组合数公式求得n的值．
（2）利用二项展开式的通项公式，求得f（x）的展开式中所有的有理项．
（3）利用二项式系数的性质以及展开式的通项公式，求得f（x）的展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）∵$A_n^4=40C_n^5$，∴n（n-1）（n-2）（n-3）=40•$\frac{n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）}{5!}$，n=7．
（2）设$f（x）={（x-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（x{-x}^{-\frac{1}{3}}）}^{7}$，则它的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{7-\frac{4r}{3}}$，
令7-$\frac{4r}{3}$为整数，可得r=0，3，6，
故f（x）的展开式中所有的有理项为T₁=${C}_{7}^{0}$•x⁷，T₄=-${C}_{7}^{3}$•x³，T₇=${C}_{7}^{6}$•x^-1．
（3）求f（x）的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{7-\frac{4r}{3}}$，则该项的系数为（-1）^r•${C}_{7}^{r}$，
再根据二项式系数的性质可得当r=4时，系数最大为${C}_{7}^{4}$=35．

点评 本题主要考查排列、组合数公式的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．