Question

11．若A（2，0），B（x，y），C（0，4）三点共线，则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 三点共线即两个向量共线，据两向量共线的充要条件求出2x+y-4=0，原点到直线的距离，即可求出答案．

解答 解：∵A（2，0），B（x，y），C（0，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（x-2，y），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4），
∵A（2，0），B（x，y），C（0，4）三点共线，
∴4（x-2）=-2y，
即2x+y-4=0，
则原点到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示直线上的点到原点的距离，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查两向量共线的充要条件及点到直线的距离公式，属于基础题．