题目内容
13．已知等比数列{an}的公比不为1，a1=$\frac{1}{2}$，且a1，2a2，4a3成等差数列．（1）求{an}的通项公式；
（2）求证：a1+a3+a5+…+a2n-1＜$\frac{2}{3}$．
分析 （1）由a1，2a2，4a3成等差数列，可得2×2a2=a1+4a3，代入解出即可得出．
（2）由a2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 （1）解：∵a1，2a2，4a3成等差数列，∴2×2a2=a1+4a3，4×q=1+4q2，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴an=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）证明：a2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
∴a1+a3+a5+…+a2n-1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$＜$\frac{2}{3}$．
∴a1+a3+a5+…+a2n-1＜$\frac{2}{3}$．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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