Question

17．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1和双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1有公共顶点A，B，P，Q分别在C₁，C₂且异于A，B点．直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．
（1）求证：O，P，Q共线．
（2）设F₁，F₂分别为C₁，C₂的右焦点，PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

分析 （1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据直线的斜率公式建立斜率过程结合向量关系的坐标公式进行证明即可．
（2）求出椭圆和双曲线的焦点坐标，结合PF₁∥QF₂，得到坐标之间的关系，利用直线的斜率公式进行化简求解即可．

解答 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2{y}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$+$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-4}$   …（2分）
又x₁²-4=-4y₁²，x₂²-4=-4y₂²，
所以k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{2{x}_{1}{y}_{2}}{-4{y}_{1}^{2}}$+$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{4{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}-{y}_{2}{x}_{1}}{2{y}_{1}{y}_{2}}$…（4分）
由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0
即$\overrightarrow{OP}∥\overrightarrow{OQ}$，
所以O、P、Q三点共线   …（6分）
（2）由题意得F₁（$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=$\sqrt{3}：\sqrt{5}$，
因为O、P、Q三点共线，所以$\frac{{x}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}}=\frac{3}{5}$  …①…（7分）
设直线PQ的斜率为k，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{k}^{2}{{x}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-{k}^{2}{{x}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$得（$\frac{1}{4}$+k²）x₁²=（$\frac{1}{4}$-k²）x₂²，…②
由①②得k²=$\frac{1}{16}$   …（10分），
又k₁k₂=$\frac{{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{-4{y}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，k₃k₄=$\frac{{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{{y}_{2}^{2}}{4{y}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$   …（12分）
从而k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁k₂+k₃k₄）=2（k₁+k₂）²=2×（$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{-4{y}_{1}^{2}}$）²=$\frac{1}{2}×（\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}）^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{{k}^{2}}$=8…（13分）

点评 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，利用直线的斜率公式以及向量和直线平行的公式进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力．