Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是 ﹣1，F到上顶点的距离为 ，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（ + ）⊥ ，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知a﹣c= ﹣1且 ，

解得a= ，b=c=1，

∴椭圆的方程为

（2）解：由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．

假设存在满足题意的直线l，设l的方程为

y=k（x﹣1），代入 ，

得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ①

∴ ，

∴ ，

∵ 而AB的方向向量为（1，k），

∴

∴当0≤m＜ 时，k=± ，即存在这样的直线l；

当 ≤m≤1时，k不存在，即不存在这样的直线l

【解析】（1）由题意可知a﹣c= ﹣1且 ，解得a= ，b=c=1，由此可求出椭圆的方程．（2）假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x﹣1），代入 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线l．