Question

【题目】已知，为常数，且，，．

（I）若方程有唯一实数根，求函数的解析式．

（II）当时，求函数在区间上的最大值与最小值．

（III）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）; （II）;; （III）.

【解析】

（I）根据方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根据二次函数的性质，函数的单调性，即可求得求得最值，（III）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可.

∵，∴，∴.

（I）方程有唯一实数根，

即方程有唯一解，

∴，解得

∴

（II）∵ ,

∴，,

若 ,

若 .

（III）解法一、当时，不等式恒成立，

即：在区间上恒成立，

设，

显然函数在区间上是减函数，

,

当且仅当时，不等式在区间上恒成立，

因此 .

解法二：因为当时，不等式恒成立,

所以时，的最小值,

当时，在单调递减，恒成立,

而,

所以时不符合题意．

当时，在单调递增，

的最小值为,

所以，即即可,

综上所述，.