Question

13．己知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，π]时．求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由周期公式可得；
（2）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得f（x）所有的单调递增区间，取x∈[0，π]的可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴所求单调递增区间为：[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]

点评 本题考查三角函数的周期性和单调性，由公式化简已知函数式是解决问题的关键，属基础题．