Question

【题目】已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，且对于函数的图象上两点， ，存在，使得函数的图象在处的切线.求证；.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】

(1)对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果；

(2)根据题意，由导数几何意义得到，将证明转化为证明即可，再令，设 ，用导数方法判断出的单调性，进而可得出结论成立.

（1）解：易得，函数的定义域为，

，

令，得或.

①当时，时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增.

此时，的减区间为，增区间为.

②当时，时，，函数单调递减；

或时，，函数单调递增.

此时，的减区间为，增区间为，.

③当时，时，，函数单调递增；

此时，的减区间为.

综上，当时，的减区间为，增区间为：

当时，的减区间为，增区间为.；

当时，增区间为.

（2）证明：由题意及导数的几何意义，得

由（1）中得.

易知，导函数 在上为增函数，

所以，要证，只要证，

即，即证.

因为，不妨令，则 .

所以 ，

所以在上为增函数，

所以，即，

所以，即，

即.

故有（得证）.