Question

1．设数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n+2ⁿ=$\frac{1}{2}$（a_n+1+1），n∈N^*，且a₁=1，求证：
（1）数列{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁+a₂+…+a_n+2ⁿ=$\frac{1}{2}$（a_n+1+1），
∴当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1+2^n-1=$\frac{1}{2}$（a_n+1），
∴a_n+2^n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，
化为a_n+1=3a_n+2ⁿ，
变形为：a_n+1+2ⁿ⁺¹=3$（{a}_{n}+{2}^{n}）$，
∴数列{a_n+2ⁿ}是等比数列，首项为3，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．