Question

12．若点M到点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，且点Q满足$\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MF}$．
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）若点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=1上一动点，过点P作圆的切线1与（1）中的曲线C相交于A、B两点（A、B在y轴的两侧），求平面图形OAFB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出M的轨迹方程，利用点Q满足$\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MF}$，求动点Q的轨迹C的方程；
（2）确定0＜y₀＜1，|x₁-x₂|≥4$\sqrt{2}$，即可求平面图形OAFB面积的最小值．

解答 解：（1）设M（a，b），则|b|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
∴a²=4b-4，
设Q（x，y），则
∵点Q满足$\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MF}$，
∴a=$\frac{1}{2}$x，b=$\frac{1}{2}$（y+2），
∴$\frac{1}{4}$x²=2y，
∴x²=8y…．（2分）
（2）联立直线l与抛物线方程可得y₀x²+8x₀x-8=0，
由题意可得-$\frac{8}{{y}_{0}}$＜0，故0＜y₀＜1，…..（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=-$\frac{8{x}_{0}}{{y}_{0}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{{y}_{0}}$，且x₀²+y₀²=1，…（10分）
∴|x₁-x₂|²=$\frac{64{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+\frac{32}{{y}_{0}}$=32[2$（\frac{1}{{y}_{0}}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{17}{8}$]≥32，…．（14分）
当且仅当y₀=1时取“=”，
∴|x₁-x₂|≥4$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF||x₁-x₂|≥4$\sqrt{2}$，…..（15分）
即平面图形OAFB面积的最小值为4$\sqrt{2}$…..（16分）

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．