Question

【题目】如图，四边形是正方形， 平面， // ， ， ， 为的中点．

（1）求证： ；

（2）求证： //平面；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明；（2）取的中点，连接，证明，然后证明平面；（3）求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：依题意， 平面，如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，可得， ， ， ， ， ， ，因为， ，所以．

所以.

（2）证明：取的中点，连接．

因为， ， ，

所以，所以．

又因为平面， 平面，

所以平面．

（3）解：因为， ，

，

所以平面，故为平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

因为， ，

所以 即

令，得， ，故．

所以，所以二面角的大小为．