Question

20．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=$\frac{25}{6}$，（|AF|＜|BF|），则|AF|：|BF|=2：3．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线方程，代入抛物线方程，消去x，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得斜率k，再解二次方程可得交点A，B的横坐标，进而得到纵坐标，再由定义可得AF，BF的长，即可得到结论．

解答 解：抛物线C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦点为F（0，1），准线为y=-1．
设直线为y=kx+1，
代入抛物线方程可得，x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+p=4k²+4=$\frac{25}{6}$，
解得k=±$\frac{1}{2\sqrt{6}}$，
即有直线为y=±$\frac{1}{2\sqrt{6}}$x+1，
由x²-$\frac{2}{\sqrt{6}}$x-4=0，可得x=$\sqrt{6}$或-$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
可得y=$\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$，
即有|AF|=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$，|BF|=$\frac{25}{6}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{15}{6}$，
即有|AF|：|BF|=2：3．
故答案为：2：3．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和准线方程的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题．