Question

已知f(x)=6cos2x-

3

sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值、最小正周期及单调减区间
（Ⅱ）若f(α)=3-

3

，且α∈[-

7π

12

，-

π

3

]求tan

5

4

α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）运用三角恒等变换公式对函数解析式进行化简整理，进而根据余弦函数的性质求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）根据f(α)=3-

3

，及α∈[-

7π

12

，-

π

3

]，从而确定α的值，进而求tan

5

4

α的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=6

1+cos2x

2

-

3

sin2x-----------------------------（1分）
=3cos2x-

3

sin2x+3=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3------------（2分）
=2

3

cos(2x+

π

6

)+3---------------------------------------------（3分）
故f（x）的最大值为2

3

+3；---------（4分）  
最小正周期T=

2π

2

=π----（5分）
单调减区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]---------------------------------（6分）
（Ⅱ）由f(α)=3-

3

得2

3

cos(2α+

π

6

)+3=3-

3

，
故cos(2α+

π

6

)=-

1

2

．--------------------------------------（7分）
又由-

7π

12

≤α≤-

π

3

得-π≤2α+

π

6

≤-

π

2

，-------------------------（8分）
故2α+

π

6

=-

2π

3

，α=-

5π

12

．-------------------------------------（9分）
从而tan

4

5

α=tan(-

π

3

)=-

3

．-----------------------------------------------------（10分）

点评：本题主要考查了三角函数的周期性，三角函数的单调性，诱导公式的运用等知识．