Question

（本小题满分12分）
已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由双曲线E：，得：，，． …2分
又圆C过原点，所以圆C的方程为． …………………………3分
（Ⅱ）由题意，设，代入，得，……………4分
所以的斜率为，的方程为． ………………5分
所以到的距离为，
直线被圆C截得的弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7． ……………………………………………………7分
（Ⅲ）设，，则由，得，
整理得．①……………………9分学
又在圆C上，所以．②
②代入①，得．   ………………………10分
又由为圆C 上任意一点可知，，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为．       …………………………12分

略