Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=

2

AB，E是PA的中点．
（Ⅰ）判断直线PC与平面BDE的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线PC∥平面EBD，连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，证明线面平行，只需证明线线平行EO∥PC即可；
（Ⅱ）先判断∠EOA是二面角E-BD-C的平面角，再在Rt△EAO中，求二面角E-BD-C的平面角．

解答：解：（Ⅰ）直线PC∥平面EBD
证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点
∵E是PA的中点，∴EO∥PC
PC?平面EBD，EO?平面EBD，∴PC∥平面EBD
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵BD⊥AC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC
∴BD⊥AO，BD⊥EO，
∴∠EOA是二面角E-BD-C的平面角
设AB=1，则PA=

2

，EA=

2

2

=AO
在Rt△EAO中，∴∠EOA=45°
∴二面角E-BD-C的平面角为45°．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是正确运用线面平行的判定，正确作出面面角．