Question

知函数f(x)=ax³-3x²+1-.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：（1）由题设知a≠0,f′(x)=3ax²-6x=3ax(x-).

令f′(x)=0得x₁=0,x₂=.

①当a＞0时，

若x∈(-∞,0),则f′(x)＞0,所以f(x)在区间（-∞, ）上是减函数；

若x∈(0，),则f′(x)＜0,所以f(x)在区间（0, ）上是减函数；

若x∈(,+∞),则f′(x)＞0,所以f(x)在区间（，+∞）上是增函数；

②当a＜0时，

若x∈(-∞, ),则f′(x)＜0,所以f(x)在区间（-∞, ）上是减函数；

若x∈(,0),则f′(x) ＞0,所以f(x)在区间（,0）上是增函数；

若x∈(0,+∞),则f′(x)＜0,所以f(x)在区间（0,+∞）上是减函数.

（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f(x)在x=0,x=处分别是取得极值f(0)=1-,f()=-+1.

因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)·f()≤0.

即（-+1）（1-）≤0.所以≤0.

故(a+1)(a-3)(a-4)≤0,且a≠0.

解得-1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求实数a的取值范围是［-1，0］∪［3,4］.