Question

已知函数f(x)=

ax+b-a  (0＜1＜x) x-b-1 x-a-1 (1≤x＜2)

若  

lim

x→1

f(x)=

1

2

，则f（x）在（0，2）上的最大值为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：由

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(ax+b-a)=b.

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

x-b-1

x-a-1

=

b

a

，

lim

x→1

f(x)=

1

2

，知a=1，b=

1

2

，f(x)=

x- 1 2 ，0＜x＜1 x- 3 2 x-2 ，1≤x＜2

，由此能求出f（x）在（0，2）上的最大值．

解答：解：∵函数f(x)=

ax+b-a，(0＜x＜1) x-b-1 x-a-1 (1≤x＜2)

，
∴

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(ax+b-a)=b．

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

x-b-1

x-a-1

=

b

a

，
∵

lim

x→1

f(x)=

1

2

，
∴b=

1

2

，

b

a

=

1

2

，
∴a=1，b=

1

2

．
∴f(x)=

x- 1 2 ，0＜x＜1 x- 3 2 x-2 ，1≤x＜2

，
∴当x=1时，f（x）在（0，2）上的最大值f（1）=

1

2

．
故选B．

点评：本题考查分段函数的极限及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．