Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（-1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函数为奇函数，可得b=0，利用f(

1

2

)=

2

5

，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）利用导数的正负，可得函数的单调性；
（3）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式．

解答：解：（1）由题意可知f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

，∴a=1
∴f(x)=

x

x2+1

；
（2）当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：
∵f′(x)=

(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增；
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，且f（x）为奇函数
∴f（2x-1）＜f（-x）
∵当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，
∴

-1＜2x-1＜1 -1＜-x＜1 2x-1＜-x

∴0＜x＜

1

3

∴不等式的解集为（0，

1

3

）．

点评：本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，考查函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力，属于中档题．