Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

在点M（-1，y₀）的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求点M的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将x=-1代入切线方程x+y+3=0可得M的坐标；
（Ⅱ）利用切点在函数图象上，该点的切线的斜率为-1，建立方程，即可求得函数的解析式；
（Ⅲ）利用分析法证明，要证lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，转化为证明x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：将x=-1代入切线方程x+y+3=0得y₀=-2，∴M（-1，-2）…（2分）
（Ⅱ）解：f(-1)=

b-a

1+1

=-2，化简得b-a=-4①．…（4分）
求导函数f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，则f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1②．…（6分）
由①②解得：a=2，b=-2
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．  …（8分）
（Ⅲ）证明：要证lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
即证（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立
即证x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（10分）
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．…（12分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，属于中档题．