Question

10．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）=a（x-1）+2，g（x）=6ln（x+b），（a＞0，b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）求a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件真假通过f（0）=0，g（0）=01就a，b即可．
（2）设投入经销B商品的资金为x万元（0＜x≤5），则投入经销A商品的资金为（5-x）万元，设所获得的收益为S（x）万元，则S（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）．通过函数的导数，求解函数的最值即可．

解答 解：（1）由投资额为零时收益为零，可知f（0）=-a+2=0，g（0）=6lnb=0，
解得a=2，b=1．
（2）由（1）可得f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）．
设投入经销B商品的资金为x万元（0＜x≤5），则投入经销A商品的资金为（5-x）万元，
设所获得的收益为S（x）万元，则S（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）．
S′（x）=，-2，令S′（x）=0，得x=2．
当0＜x＜2时，S′（x）＞0，函数S（x）单调递增；
当2＜x≤5时，S′（x）＜0，函数S（x）单调递减．
∴当x=2时，函数S（x）取得最大值，S（x）_max=S（2）=6ln3+6≈12.6万元．
∴当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．

点评 本题考查函数的解析式以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．