Question

【题目】如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，是等腰直角三角形，.

（I）证明：平面平面ABC；

（II）点E在BD上，若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）

【解析】

（I）取AC的中点O，连接OD，OB，推导出，，从而为二面角的平面角，由此即可证明平面平面ABC；

（II）以O为坐标原点，OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角即可.

（I）取AC的中点O，连接OD，OB，

由题设可知，是等腰直角三角形，且，从而.

所以，

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，而，

所以.

故，所以平面平面ABC.

（II）由题设及（I）知，OA，OB，OD两两垂直，

以O为坐标原点， OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则.

由题设知，三棱维的体积为三棱锥的体积的.

从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面ACE的法向量，则，即，

令，得，故.

设是平面DCE的法问量，

则，即,

令，得，，

故.

则，

所以二面角的余弦值为.