Question

【题目】已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．

（1）当时，解关于的不等式：；

（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）

【解析】

试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：的两根为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当时，取最小值

试题解析：（1）由不等式的解集为知，关于的方程的两根为和，且，

由根与系数关系，得∴

所以原不等式化为，

①当时，原不等式化为，且，解得或；

②当时，原不等式化为，解得且；

③当时，原不等式化为，且，解得或；

综上所述：

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

（2）假设存在满足条件的实数，

由（1）得：，，

．

令（），则，（），

对称轴，

因为，所以，，

所以函数在单调递减，

所以当时，的最小值为，解得．