Question

【题目】动点P满足 + =2
（1）求动点P的轨迹F1 ， F2的方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△OAB面 积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得，点P到点 与 的距离之和等于

且 ，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆

设椭圆的标准方程为

则

即 ，b2=a2﹣c2=1，

动点P的轨迹C的方程为

（2）

解：设直线的方程为x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

原点O到直线l的距离为 ，即 = ，

化简得4n2=3（1+m2），即n2= （1+m2），

将直线l与椭圆C方程联立得 ，化简得（m2+3）y2+2mny+n2﹣3=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

△=4m2n2﹣4（m2+3）（n2﹣3）=12m2﹣12n2+36=12（m2﹣n2+3）=3（m2+9）＞0…（6分）

将代入得 ，

∴ ，

令t=m2+3，t≥3，

当 = ，即t=6，m2=3时，S△OAB最大，

∴△OAB面 积的最大值

【解析】（1）由题意可知动点P的轨迹是以F1 ， F2为焦点的椭圆，设椭圆方程，由题意求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线的距离公式，求得n与m的关系，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，及基本不等式得性质，即可求得△OAB面 积的最大值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．